複雑な世界、単純な法則 ネットワーク科学の最前線

small world network の話が流行っていたときに出た本のようだ。私は古本屋でたまたま見つけた。 ネットワーク好きの学生がいるので読んでみた。洋書和訳本では時々あるタイプの、最先端科学を多様な応用を 取り混ぜながら紹介するという本である。数式を使わずに、充実した内容が書かれている。 日本人の科学ジャーナリストにはこういうのが書ける人がそんなにいないと思う。

small world というのは「世間は狭い」ことのネットワークによる説明である。一言で言えば、世の中は強い絆と 弱いが遠い集団を結びつける絆があって、それが混ざることで、世間が狭くなっているということである。 そのことがよくわかるように、いろいろな例を出して、分かりやすく説明されている。 それに関連して、邦題はわかりづらい。原題を直訳して「絆～世間は狭いということとネットワーク科学の革新」とでも したほうがよほどわかりやすいのにと思う。

いま、強い絆と弱い絆と書いたが、典型的なネットワーク的な見方というのは、リンクの強さは捨象して、 つながっているかつながっていないかだけを問題にするのが特徴である。でも、実態としては、強い絆と弱い絆があるので、 本文でもそのように書かれている。このつながりの強さの捨象が物事を分かりやすくすることもあれば、 捨象しすぎになることもあるだろう。地震の連鎖をネットワークとみなすという物理学者による研究を目にしたが（本書ではない）、 地球科学者から見ると、２つの地震のつながりの強さを捨象することに意味があるのかどうかは疑問である。

サマリー

第1章 「奇妙な縁」はそれほど奇妙ではない

• 1998 年、nature に Watts & Strogatz の small world network の論文が出た。
• 遡って 1960 年代、Harvard 大学の Stanley Milgram は、アメリカの任意の二人はだいたい六段階の友人関係でつながっていることを手紙調査で見出した。

第2章 ただの知り合いが世間を狭くする

• ポール・エルデシュは次のような問題を解いた。N 個のノードをランダムに結んだ場合、ほぼすべてのノードが結ばれるには、 何個のリンクが必要か？答えは、N=50 なら 98 で、すべての可能なリンクの数 N(N-1)/2 の 8% になる。 このパーセンテージは、N が増えるほど減る。N = 60 億なら約 720 億となる。ということは、1 人の人がだいたい 24 人の人を 知っていれば、世界の 60 億人とつながりがあるということになる。
• 問題を逆に考えよう。1 人の人に 50 人の友達がいるとして、友達の友達は 50×50=2500 人いるはずだ。 このように考えると N 次の友達は 50^N 人となる。すると、6 次の友達は 150 億人を超えてしまう。
• こうしてみると、small world は不思議ではないように見えるが、実際の友達関係はランダムではない。 友達関係はクラスターを作っているから、友達の友達の友達にはかなり重複があり、上の計算は現実の友達関係では正しくない。
• Mark Granovetter は、世間を狭くしているのは、弱い絆であることに気付いた。 強い絆はクラスターを作りやすいので、そのうち一つを除いても隔たりの次数はあまり変わらない。 これに対して、弱い絆はクラスター間の架け橋 (bridge) になっており、一つ取り除いただけで隔たりの次数は大きく変わる。 Granovetter (1973) の論文「弱い絆の強さ」はこれを示したものである。

第3章 スモールワールドはいたるところにある

• 東南アジアの蛍のいくつかの種で同期発光という現象がある。 Mirollo & Strogatz (1990) は蛍の同期発光の数値モデルを作った。しかし、その中では、一匹の蛍が発光すると、 他のすべての蛍が影響を受けるとしていた。しかしそれはもっともらしくない。Watts はこの問題を考えていて small world network 問題に行き着いた。
• Watts & Strogatz は、規則的な円周状ネットワークに少しランダムなリンクを付け加えることで、 隔たり次数が急激に下がることに気付いた (small world graph)。一方で、そのことでクラスター化指数はほとんど変わらない。
• 完全にランダムなネットワークは、隔たり次数は小さい (small world) が、クラスター化指数はきわめて小さい。 一方で、規則的なネットワークは、クラスター化指数は大きいが、隔たり次数は大きい。 small world graph は、クラスター化指数が大きく、かつ隔たり次数が小さい。
• small world graph の例は探すとたくさんあった。俳優のネットワーク、アメリカの電力網、線虫のニューロンのつながりなど。
• 蛍の同期発光も、蛍同士のネットワークが samll world graph の構造になっているとすると説明できる。

第4章 脳がうまく働く理由

• 脳はさまざまの機能部位（モジュール）から構成されており、それらの機能部位がつくるネットワークは small world graph の構造をしている。
• 意識とは何かはいまだによくわかっていないが、ニューロンの同期発火が関係していそうである。 すると、蛍の同時発光の例と同様、神経系の small world 構造が関係しそうということになる。
• Lago-Fernández らはバッタのニューロンのネットワークのコンピュータシミュレーションをしてみた。 規則的なネットワークでは、同期発火はするものの応答が遅い。ランダムネットワークでは同期ができない。 small world network では、すばやい反応と同期発火の両方ができた。さらには、全体での振動に対して 個々のニューロンが固有のタイミングで反応するという現象も再現できた。

第5章 インターネットがしたがう法則

• Paul Baran が考案した分散型ネットワークがインターネットの原型だ。
• Baran は魚網のようなハブのないネットワークを想定していた。しかし、チェスウィックとバーチが 1998 年までに調べたところ、実際のインターネットはハブがたくさんある構造だった。
• Faloutsos 兄弟が 1999 年に分析したところ、インターネットには small world 性があった。 それはランダムネットワークでもなく、クラスター化しているが、Watts & Strogatz の small world network でもなかった。 つまり、別のタイプの small world network なのだった。
• Faloutsos らのチームが、インターネットの node の link 数の分布を作るとそれはべき乗則に乗っていた。
• Barabási らは、world wide web のリンクのネットワークを調べて、インターネット自体と同様、 リンク数の分布はべき乗則に乗っていて、small world になっていることを見出した。 ウェブの直径（任意の２つのドキュメント間の平均距離）は全ドキュメント数の対数に比例しているらしい。
• このようなインターネットの small world 性の起源は、少数のノードが膨大なリンクを持ったハブになっていることである。
• 1999 年、Barabási らは、生化学反応のネットワークが、やはりノードのリンク数の分布がべき乗則に従う small world であることを見出した。
• 物理学者の Sidney Redner と Mark Newman は、研究論文の引用ネットワークが、やはりリンク数の分布がべき乗則に従う small world であることを見出した。
• 物理学者の Ricard Solé と Raman Ferrer i Cancho は英語の単語のつながりを、二つの単語が前後して出てきた場合に つながりがあるとみなすネットワークだと考えた。すると、英語は a や the や at などの単語をハブとする small world であった。

第6章 偶発性が規則性を生みだす

• 歴史の特徴は偶発性にある。
• 社会ネットワークやインターネットなどは、歴史的にできてきたものだから、偶発的な事柄の組み合わせでできたものであるにもかかわらず、 全体的に見れば、べき乗則であったりスモールワールド性であったり普遍的な特性がある。
• 河川のネットワークの解析をすると、流域面積の分布はべき乗則にしたがっていることがわかる。 流域面積が 2 倍になると、そのような川の数は 1/2.7 になる。このパターンは多くの川で共通している。
• Andrea Rinaldo と Ignacio Rodríguez-Iturbe は数値シミュレーションで河川ネットワークの形成の研究を行った。 地形とその侵食を取り入れた大雑把なモデルで河川ネットワークの特徴を再現することができた。 何度もシミュレーションをすると、細部の配置が同じものは一つもないが、べき乗則分布は普遍的に現れた。
• 河川ネットワークには自己相似性があり、フラクタル構造をしている。
• DLA (diffusion-limited-aggregation) もフラクタル構造を作る。DLA においては、長い腕がより長くなりやすい傾向にある。 結果的に樹枝状のフラクタルができる。

第7章 金持ちほどますます豊かに

• ウェブのリンクは、知名度が高いサイトほどよりリンクが増える。科学論文でも引用の多い論文はますます引用数が増えやすい。
• このように、「金持ちほどますます豊かになる」法則があると、ハブのあるスモールワールドが出来上がる。Barabási と Albert が数値シミュレーションでこのようなネットワークを作ってみると、リンク数分布も冪乗則に乗った。
• このように、金持ちほど豊かになることによって small world ができるという構造は、セックスパートナーのネットワーク、共同研究のネットワーク、企業重役のネットワークでも見られた。このようなネットワークを「貴族主義的ネットワーク」と呼ぼう。
• 一方、Watts & Strogatz のネットワークのようにハブのないネットワークのことを「平等主義的ネットワーク」と呼ぼう。small world network には貴族主義と平等主義の２種類がある。

第8章 ネットワーク科学の実用的側面

• 航空ネットワークにもハブ空港があるとされているが、今やそうした大空港は容量の限界に達している。その結果、実際はハブと言えるものはなく、平等主義的ネットワークに近くなっている（Amaral ら）。これが平等主義的ネットワークができる過程だろう。
• 電力網や線虫の神経回路網も平等主義的である。１つのノードにリンクが集中すると、そのノードの負担が過重になるのだろう。
• small world network の脆弱性を考えよう。インターネットのような貴族主義的ネットワークとランダムネットワークを比較する。ランダムな攻撃に対しては、貴族主義的ネットワークのほうが強い。それは、少数のリンクしか持っていないノードを攻撃する確率が高いから。一方で、ハブが狙われると貴族主義的ネットワークは弱い。
• 以上の知見は、細菌（病原菌）を攻撃する方法を考えるのにも役立つ。生化学反応のネットワークは貴族主義的なので、ハブとなるタンパク質を破壊すると効果的。

第9章 生態系をネットワークとして考える

• 生態系も捕食者と被食者のつながりをリンクとして考えると、ネットワークである。これを食物網と呼ぶ。 食物網は複雑で、人間による乱獲がどう影響を及ぼすかの予測は難しい。
• 1970 年代までの常識では、多数の種がいる生態系は安定しており、単純な生態系は不安定だと考えられていた。
• ところが、1970 年代初めに Robert May が作った数値モデルでは、種の数が増えるほど、 生態系は撹乱に対して元の状態に復帰しづらくなることがわかった。ネットワークは単純なほど安定になる。
• May の研究には２つの問題点があった。
• 第１の問題は、May が使っていたネットワークがランダム・グラフであることだった。Peter Jodzis (1981) によれば、 現実的な食物網のモデルは、撹乱に対して安定だった。1980 年代から 90 年代初期に、David Tilman らが現実の生態系を調べたところでも、 種数の多い複雑な生態系ほど生物量の変動が小さかった。
• 第２の問題は、安定性の定義である。May による安定性の定義は、種の個体数が完全に元に復することであった。 ところが、撹乱に対して個体数が完全に戻ることはそれほど重要ではない。変化はあっても生態系が壊れてしまわずに 存続すれば十分と考えるほうが妥当である。
• 種の間の結びつきの強さはいろいろである。たくさんの種類の餌を取っている捕食者は、それぞれの被食者との結びつきは弱く、 ひとつの被食者が絶滅しかかっても代わりがたくさんあるから、大きな影響は受けない。 そういうわけで、弱い結びつきは、生態系全体の「強さ」になる。
• 現実の食物網を Solé と Montoya が調べたところ、ネットワークは貴族主義的な small world だった。 すなわち、リンクの分布はべき乗則にしたがい、隔たりの次数は食物網の大きさに比例しない。
• 生態系が small world であるということは、撹乱の影響は広範囲に及ぶということだ。 貴族主義的であるということは、ランダムな撹乱に対してはけっこう強いが、ハブを攻撃されると弱いということだ。 食物網のハブとなる種は、上位の捕食者のことも中位のことも下位の植物のこともあり、どれがその種か特定するのは難しい。

第10章 物理学で「流行」の謎を解く

• 相変化の臨界点 (tipping point) の説明をする。
• 相転移の現象論はレフ・ランダウが与えた。これは幅広い相転移現象に応用できる。ただし、応用できないタイプの相転移もある。
• 伝染病にも臨界点がある。一人の感染者から生じる二次感染数の平均が1より大きければ感染は急速に増大するし、1より小さければ感染は終息する。
• 感染の数学的モデルの最も簡単なものは contact process と呼ばれるゲームである。 格子状のネットワークを考える。あるノードが感染していれば、やがて回復して感染状態ではなくなる。感染していなければ、周囲の病人の数にある確率をかけた割合で感染する。 感染確率には臨界点があって、それより大きければ感染は拡大、小さければ終息する。
• 流行の問題では、病気に限らず、商品の流行などでも似たような臨界点がある。

第11章 エイズの流行とスモールワールド

• 感染に対するネットワーク構造の効果を考える。
• Damián Zanette は非伝染化（死ぬ、免疫を獲得する、学習によって感染リスクの高い行為を減らすなど）の効果を入れた感染症モデルを作り、規則的ネットワークとそれに長距離リンクを入れた small world で比較した。 すると、規則的ネットワークでは感染が広がらないのに対し、長距離リンクの割合がある閾値に達すると大流行が起こることがわかった。
• Alessandro Vespignani と Romualdo Pastor-Satorras は、コネクター（ハブと同じ、多数のリンクが存在するノード）が存在する貴族主義的 small world network での感染モデルを考えた。 すると、流行の閾値（tipping point）がゼロになることがわかった。つまり、このようなネットワークでは、感染症は常に広がる傾向にある。
• HIV の場合で考える。HIV には HIV-1 と HIV-2 の２種類がある。HIV-1 は SIVcpz というチンパンジーを宿主とするウイルスと近縁である。SIVcpz は、チンパンジーには悪影響はないが、他のサルにはエイズのような症状を起こす。HIV-2 は SIVsm というスーティーマンガベイというサルを宿主とするウイルスと近縁である。SIVsm は、スーティーマンガベイには悪影響はないが、他のサルにはエイズのような症状を起こす。
• SIV が人間に入ったのは、遅くても1960年である。しかし、人間で流行が始まったのは1980年代である。
• HIV を感染症ネットワークモデルを比べる。まず、1960年代にアフリカで長距離移動が増えた。道路が整備されたことと、独立したために住民の移動が自由になったためである。1978年にはウガンダとタンザニアの間で戦争があり、戦後その辺りでエイズが広まった。こういったことが長距離リンクを作ったのだろう。
• 一方、セックスのネットワークは貴族主義的であることが知られている。ということは、性感染症では、流行はくすぶり続けるはずだ。流行を抑えようと思ったら、コネクターに標的を絞って何らかの形で非感染化をしなければならない。

第12章 経済活動の避けられない法則性

• 社会的現象にもシステムが持つ様相が現れる。
• Thomas Schelling は、人は極端な少数派になりたくないという傾向を持つと考えると、人種の住んでいる地域が 自然に分かれてくることを示した。差別や偏見が無くてもそうなる。
• Vilfredo Pareto は、富の分布がべき乗則に乗ることを示した。これは、富が少数の人に集まることを意味する。 Jean-Philippe Bouchaud と Marc Mézard は、コンピュータでシミュレーションで、こうなるメカニズムを説明した。 経済活動のうち、売買は富を広くまきちらし、格差を平滑化する効果がある。豊かな人はたくさんお金を使って、 富が他の人に流れるからだ。一方、投資は金持ちをますます豊かにする。金持ちほど多額の投資をし、より多くの利益を得る 機会が増えるからだ。その結果 Pareto の法則が出現する。
• さらに、市場や政情が不安定だと、富の格差がきわめて大きくなり、臨界点を超えると、 富はごく少数の人に「凝縮」するようになる。

第13章 偶然の一致を越えて

• ネットワーク科学から得られる教訓は何か？
• small worlld network の特徴は、隔たり次数が小さいということだけではなく、クラスター化しているということにある。 隔たり次数だけなら random network でも小さい。small world network には、クラスター内の強い絆と、 クラスター同士をつなぐ弱い絆があり、その両方があるということが重要である。
• 人間同士の強い絆としては、横の関係では信頼と協力、縦の関係では権威と服従ということになる。 こうした関係があるからこそ、人間は集団として行動できるようになっている。 社会資本とは、集団が自立的に自ら進んで仕事をする能力である。
• 一方、弱い絆があると、人間が小集団に分裂することが避けられる。たとえば、ハイテク産業で、 シリコンヴァレーが勝ち、ボストンのハイテク産業地域が負けたのは、シリコンヴァレーでは 企業間の転職や協力やアイデア交換が活発だったためと考えられている。あるいは、自動車産業で、 フィアットがリストラに失敗し、アルファロメオが成功したのは、フィアットでは労使が厳しく対立したのに対して、 アルファロメオでは労使の仲介となる弱い絆がいろいろあったせいだと考えられる。