統計分布を知れば世界が分かる 身長・体重から格差問題まで

生協書店店頭で見かけて買った。学生がべき乗分布に関係した研究をしているので、 それをわかりやすく語るとどういうことになるかが書いてあるのかと思って読んでみた。 実際読んでみると、本書はべき乗分布よりは対数正規分布に重点が置かれている。 それは一般にそれほど知られていない割に重要ということのようだ。 べき乗分布の方は、なかなかその起源を明確に言うのは難しいらしい。

最近、格差社会ということがよく言われるが、対数正規分布がそれを判定する一つの手段を 与えてくれるというのが、本書の重要なメッセージになっている。これは目から鱗というものである。 格差というと、たとえばジニ係数が用いられたり、エンゲル係数が用いられたりする。 ジニ係数は、皆の所得が同じという状態を基準にしてそこからのずれを測る。 エンゲル係数は、平均的な貧困度のようなものを測定する。 これに対して、この本で書かれている考え方は、 人々に対数正規分布程度になるような格差ができるのは正常とみなし、 そこからのずれを異常と考えるというもので、格差の見方として私にとっては新しかった。 本書に書かれている通り、たとえば税金の取り方としてどの程度の累進性が適切かを考える目安となりそうだ。

サマリー

はじめに

• 本書では、正規分布、べき乗分布、対数正規分布について語る。
• 複雑系ではべき乗分布や対数正規分布が現れる。とくに歴史を背負っている複雑系では対数正規分布が現れることが多い。

第１章 統計的に考えるとはどういうことか

• 大人の身長の分布は正規分布をしている。
• いろいろな独立な要因が加算的に効く様な量は、中心極限定理により正規分布になる。
• 確率変数の平均値は、サンプルが多くなるとある一定値に近づく。これを大数の法則という。
• 確率変数の平均値は、サンプルが多くなると正規分布をするようになる。これを中心極限定理という。
• 酔歩の問題も正規分布が出てくる代表的な問題である。平均値が 0、標準偏差が√（歩数×歩幅）の正規分布になる。
• 偏差値とは、平均を 50、（平均＋標準偏差）を 60 になるように物差しを取り直した数値である。

第２章 べき乗分布

• 地震のエネルギーと大きさの順位の関係はべき乗分布を示す。これは、典型的な大きさがないスケールフリーな分布である。
• 地震の震央の分布は、スケールフリーなフラクタル構造を示す。

第３章 複雑系とランキングプロットの効用

• 複雑系では、分布の右裾がべき乗分布になることが多いが、分布の本体はそうならないことも多い。
• 分布の表現の仕方には、累積個数分布（ランキングプロット）と個数分布、ならびに個数分布を規格化した頻度分布がある。
• 累積個数分布は、プロットが簡単な上、積分量のためグラフが滑らかになるという利点がある。
• 世界の国別のGDPの分布は対数正規分布になっている。

第４章 複雑な系の歴史性とその統計

• 歴史性を持った物事では、様々な要因が乗算的に効くと考えられる。そうした物事の分布は対数正規分布にしたがう。
• 対数正規分布は、標準偏差が平均値に比べてずっと小さいと正規分布に近く、標準偏差が平均値に比べてずっと大きいとべき乗分布に近い。
• 地震のように広い範囲に渡ってのべき乗則を示す現象は、歴史性を含んだ事柄が幾重にも折り重なった結果として生じるのかもしれない。

第５章 現代社会に見られる対数正規分布の例

• 老人病の介護期間は対数正規分布になる。ただし、５年くらい以上のところでカットオフが現れる。 高齢者の病気は単発ではなく連鎖するので乗算的に効くということが、対数正規分布が現れる理由だと考えられる。
• 思春期前の児童の身長分布は対数正規分布になる。成長の過程を反映しているのだろう。大人になると正規分布になる。 大人の身長の平均値は基本的には遺伝的に決まっているのだろう。
• 現代の若者の体重分布は二重対数正規分布になる。普通グループと肥満グループに分かれる。
• 複雑系の統計分布としては、対数正規分布を基準にして考えるべきである。

第６章 社会現象を統計的に読み解く

• 国別 GDP 分布は対数正規分布になる。最近は中国の躍進が著しい。中国が基礎的な科学技術や基礎教育に力を入れているためだろう。
• 市町村の人口分布を見ると、ほぼ対数正規分布に乗るが、右裾の方はべき乗分布になる。 大都市は、人口を引き付けてますます大きくなる傾向が見て取れる。
• 現在の都道府県の人口分布は、二重対数正規分布になる。つまり、普通の都道府県のグループと、人口の多い12くらいの都道府県のグループに 二極分化する。これは先進国の中では日本だけに見られる特徴である。日本では、工業都市や商業都市に過度の人口集中が起こっている。
• 日本の個人所得の分布は、大部分は対数正規分布に乗るが、右裾はべき乗分布になる。これは富の不平等な蓄積を示す。 課税の累進性を高めるべきである。
• アメリカの個人所得の分布を見ると、右裾のべき乗分布に加えて、左裾も対数正規分布からのずれが目立つ。つまり極貧層が多いということである。 ここまで格差が広がることは阻止しなければならない。