第９回　球を過ぎる流れ〜ストークスの流れ〜
６月２３日

本日の内容と重要な式

3-8.  球を過ぎる流れ（Stokes の流れ）
3-8-1. 問題設定：球を過ぎる流れ
3-8-2.  Stokes の流れ関数（Stokes's stream function）
	
、

3-8-3.  Stokes 流れの導出
3-8-4.  Stokes 抵抗則
3-8-5.  重力場中の運動
3-8-6.  実験：水飴の粘性率を測る


本日のレポート問題（締切：６月２７日昼）

[問題3.3]球が気泡の場合
講義では剛体の球が粘性流体の中を動いてゆくことを考えた。一方で、上の水滴の問題でもそうだが、球も流体でできていることが考えられる。講義とは反対の極端の場合として、気泡のまわりの流れを考えよう。気泡の形は球形のまま崩れないと考える。このとき、流れ関数、抵抗力がそれぞれ次のようになることを示せ。
	

	

（ヒント：講義の内容とは
での境界条件が違うだけで、解き方は同じ。今度の
での境界条件は
、
である。）


講義ノート（3-8-3, 3-8-4）

3-8-3.  Stokes 流れの導出

流れ関数を用いて問題を書き直すことを考える。

軸対称な Stokes 近似の式は
	
	
	

である。これに (3.8.9)
	
、

を代入すると
	
		(3.8.11)
	
		(3.8.12)
となる。(3.8.11)を
で微分し、これから(3.8.12)に
をかけて
で微分したものを引くことにより
を消去すると
	
					(3.8.13)
が得られる。これを解けばよい。
境界条件は
	
、
 at 
						(3.8.14)
	
 as 
						(3.8.15)
である。

さて、今の場合はたまたま変数分離型の解がある。変数分離型の解があるとすれば、境界条件から
	
							(3.8.16)
という形の解があるだろうと考えられる。

これを(3.8.13)に代入すると、
	
							(3.8.17)
となる。境界条件は
	
、
 at 
						(3.8.18)
	
 as 
						(3.8.19)
となる。

(3.8.17)の一般解は
	

の形をしている。
境界条件(3.8.19)より、
、

境界条件(3.8.18)より、
、

したがって、
、

ゆえに流れ関数は
	
					(3.8.20)
となる。これで問題が解けた。

速度は流れ関数の定義から、
	
				(3.8.21)
	
				(3.8.22)
となる。圧力は(3.8.20)を(3.8.11)、(3.8.12)に代入して
	

	

となることから、
	
							(3.8.23)
と求められる。

		
3-8-4.  Stokes 抵抗則

球にはたらく抵抗を求める。そのためには、球表面に働く応力を求める必要がある。
	
				(3.8.24)
	
			(3.8.25)
この応力の
成分を球面全体で積分することで抵抗が得られる。
圧力項からの寄与を圧力抵抗と呼ぶ。


剪断応力からの寄与を摩擦抵抗（あるいは粘性抵抗）と呼ぶ。


両方合わせたものが球にはたらく全抵抗である。
	
						(3.8.26)
これが Stokes の抵抗則である。


実験（3-8-6）

3-8-6. 実験：水飴の粘性率を測る

実験：ストークス抵抗の性質を確かめ、水飴の粘性を求める


	Stokes 則による粘性率 


	水飴：スドージャム（株）製
		重量 85 g、体積 61 ml   ゆえ、密度は 1.4 g/cm3
		Cf. メスシリンダの重量 60 g
	スチールボール：
		直径　11.1 mm（大）、7.9 mm（中）、4.7 mm（小）
		重量　大は1個あたり 5.59 g
			したがって、密度は 7.81 g/cm3





講義時間に実験をした結果

			落下距離(cm)		落下時間(s)		落下速度(cm/s)
	大玉
	中玉
	小玉

この結果、Stokes 則による粘性
は
	大玉
	中玉
	小玉

落下速度が
に比例しているか？何となくしているが、あまりしていない。

実は、今の場合、メスシリンダが細いので、壁の影響が大きい。
玉が中心軸上を落下しているとして、壁の補正は以下の補正係数
をかけることで行うことができる（「流体力学ハンドブック」p100）。
	

		ただし、
（球の径）/（メスシリンダの径）

	メスシリンダの径が 29mm であることから、径の比は
		大玉	

		中玉	

		小玉	

	となる。そこで、補正ファクターは
		大玉	

		中玉	

		小玉	

	となる

補正後の粘性率

	大玉	
	中玉	
	小玉