「地球惑星数学及び演習：常微分方程式」シラバス

基本情報

日程と内容

常微分方程式 [吉田] 5/24,31,6/7

評価の方法

平常点に関しては、授業中の演習（黒板に出てきて解く）と小テストを 行うつもりです（小テストの時間がなければ、宿題にするかもしれません）

講義の内容

• 1. 常微分方程式とは何か？
• 2. 求積法
• 2-1. 変数分離型
  
  Part 1 の初等関数の積分の 直接的な応用として微分方程式が解ける場合。
• 2-2. 全微分型
  
  変数分離型を少し拡張した型。 実は、もっと一般的な解法への入り口になっているのだが、そこまで 詳しくはやらない。
• 3. 定数係数線形常微分方程式とその周辺
  定数係数線形常微分方程式は 数々の取り扱いやすい性質を持ち、完璧に解き方がわかっているために、 物理などでの応用面ですぐに例題に出される方程式のクラスである。 地震波を含めてあらゆる振動・波動の方程式の基本でもあるので、 その意味で地球物理の基本である。Part 4 の Fourier 変換の基礎でもある。
• 3-1. １階の定数係数線形常微分方程式
  基本の型。
• 3-2. 強制項付き定数係数線形常微分方程式
  基本の型に外力が加わったもの。
• 3-3. 定数係数線形連立常微分方程式
  行列を利用して連立微分方程式を解く。 行列を使う重要性がここでわかる。その点で Part 3 の線形代数と関連している。
• 3-4. 高階の定数係数線形微分方程式と連立微分方程式
  高階の方程式は連立１階微分方程式と 等価であることを示し、3-3. を利用して高階の微分方程式が解けることを示す。

• 定数係数ではない線形常微分方程式
• 境界値問題と固有値問題

参考書

神保秀一「微分方程式概論（数学基礎コース＝H4）」（サイエンス社）

平易で実用的な解説。この教科書の前半部の第３章までが 常微分方程式を扱っている（後半は偏微分方程式とラプラス変換）。

笠原晧二「微分方程式の基礎（数学基礎ライブラリー５）」（朝倉書店）

上の教科書よりもう少し数学的に基礎的な部分が扱われている。 解の存在定理も扱われているし、上の教科書より一般論が書かれている。

寺沢寛一「自然科学者のための数学概論（増訂版）」（岩波書店）

物理数学全般のバイブルとして定評がある。境界値問題は、通常の 微分方程式の教科書には載っていないことも多いので（上の２つの 教科書を含む）、たとえばこれを参考にすると良い。

Peter E. Hydon "Symmetry Methods for Differential Equations -- A Beginner's Guide" (Cambridge University Press)

常微分方程式が「解ける」場合に、かなり一般的に応用できるテクニックを 扱っている。本講義の「全微分型」と関連している。「全微分型」を うまく使うと広い範囲の微分方程式が解けることが解説されている。