地震におけるスケーリング則

last update: 2016/07/07
地震において経験的にいくつかのスケーリング則が知られている。

応力降下一定則；マグニチュードと断層の大きさ

地震においては、地震のマグニチュードによらず 応力降下が 10-100 bar くらいになることが知られている。 [Kanamori and Anderson (1975) BSSA, 65, 1073-1095]

そのことから地震モーメントやマグニチュードと断層の大きさの間に 次のようなスケーリングが導かれる （正確に言うなら、以下のスケーリング則を見出したことから 応力降下が一定であると導かれた）。

地震モーメント M0 は

M0 = μ U S
と表される。ここで μ は剛性率、U は変位、S は断層面積である。 一方、応力降下 Δσ は断層の長さスケールを L として
Δσ 〜 μ U / L
である。S 〜 L2 とすれば、上の２つの式から
M0 〜 Δσ L3 〜 Δσ S3/2
となる。Kanamori and Anderson (1975) では、
M0 ∝ S3/2
が見出され、そのことから応力降下一定則が導かれた。

M0 と L の関係として表せば

M0 ∝ L3
となる。また、破壊の継続時間 τ がだいたい
τ 〜 L / c
（ただし、c は地震波速度）と表されるとすれば、
M0 ∝ τ3
ということにもなる。

さらに、モーメントマグニチュード Mw とモーメント M0 とは

1.5 δ Mw = δ log M0
という関係にあるから（δ は変化分を表す）、
δ Mw = δ log S = 2 δ log L
となる。すなわち、マグニチュードが１増えると断層面積が１桁増え、 マグニチュードが２増えると断層の長さ（幅）が１桁増える。 目安は以下の通り。
magnitudecharacteristic length
M610km
M730km
M8100km

巨大地震の場合

大きい地震（M7 以上くらい）で断層の幅 W が頭打ちになる場合は、 断層の長さ L と幅 W を区別しないといけない。

その場合にやり直すと、

M0 = μ U S
S 〜 L W
と より となる。応力降下 Δσ が一定で W も頭打ちで一定とすれば、 となる。

日本の大きな内陸地震では、上の case 2 の M0∝L2 が良いようである。 W は上部地殻のうち地震を起こす領域の厚さの 13 km 程度で頭打ちになる。 この場合の具体的なスケーリング則として

がある。

情報源

地震動のスペクトル

地震の変位スペクトルは、おおむね低周波側で一定、高周波側で ω-2 に比例することが知られている。 その境目となる周波数をコーナー周波数 ωc と呼び、
ωc 〜 VS/R
の関係がある。ここで、VS は S 波速度、R は断層面の大きさである。

情報源